Если говорить о данном конкретном случае (mail.ru), то я проверил, и всё работает без каких-либо проблем.

Вероято, вы вставляли предлагаемый код в текст статьи с визуальным редактором. При этом Вы, вероятно, в результате получали отображение вставляемого кода вместо ролика. Это особенность работы любого визуального редактора. Почему так получается, могу потом описать подробнее, если интересуют нюансы.

Как сделать, чтобы код не отображался, а работал:

Не используйте для его вставки визуальный редактор. Чтобы вставить на свой сайт их ролик, перейдите на страницу, на которую хотите его вставить, выберите в левом меню "Добавить на сайт" пункт "Фрагмент (Snippet)", жмёте на нём. В открывшихся свойствах даёте ему название, там же в тело фрагмента вставляете имеющийся код и сохраняете.

Если Вы хотите выложить свои ролики на сайте, то, просто на страницу добавляете файл или группу файлов. Или сначала добавляете на страницу папку (или несколько), а в неё (в них) уже кладёте файлы.